元素 (数学)

在数学领域，集合的元素（英语：element）指构成该集合的任意对象，也可以称作成员（英语：member）。

关于范畴论的元素，请见“元素 (范畴论)”。

集合

${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$表示集合${\displaystyle A}$中有四个元素，分别是数字1、2、3、4。由集合${\displaystyle A}$中元素组成的集合是${\displaystyle A}$的子集，例如 ${\displaystyle \{1,2\}}$。

集合本身也可以是元素。例如，集合${\displaystyle B=\{1,2,\{3,4\}\}}$的元素不是1、2、3、4四个数，而是数字1、2和集合${\displaystyle \{3,4\}}$这三个元素。

集合的元素还可以是任何东西。例如，集合${\displaystyle C=\{\mathrm {\color {red}red} ,\mathrm {\color {green}green} ,\mathrm {\color {blue}blue} \}}$的元素为red、green和blue。

符号和术语

符号“∈”表示“是${\displaystyle X}$中的元素”的关系，这种关系也称集合隶属关系（英语：set membership）。可以用

${\displaystyle x\in A}$

表示“${\displaystyle x}$是${\displaystyle A}$中的元素”，也可以表达为“${\displaystyle x}$是${\displaystyle A}$的成员”、“${\displaystyle x}$在${\displaystyle A}$中”或“${\displaystyle x}$属于${\displaystyle A}$”。

有时也用“${\displaystyle A}$包含${\displaystyle x}$”表达集合隶属关系，但因为这样的说法也可以用来表达“${\displaystyle x}$是${\displaystyle A}$的子集”，应该谨慎使用，避免歧义。^[1][2]不过使用符号时没有歧义，可以用

${\displaystyle A\ni x}$

来表达“${\displaystyle A}$包含${\displaystyle x}$”。

不隶属的关系可以用符号“${\displaystyle \not \in }$”表示，记作

${\displaystyle x\notin A}$

意思是“${\displaystyle x}$不是${\displaystyle A}$的元素”。

符号∈最早见于朱塞佩·皮亚诺1889年的论文Arithmetices principia, nova methodo exposita。^[3]他在第 X 页^{[注 1]}上写道：

Signum ∈ significat est. Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …

意思是

符号 ∈ 表示“是”。所以a ∈ b被读作 a 是 b； …

该符号源自希腊字母“E”的小写“ϵ”，是单词ἐστί的第一个字母，意思为“是”。^[3]

字符	∈		∉		∋		∌
Unicode名称	Element of		Not an element of		Contains as member		Does not contain as member
编码	十进制	十六进制	十进制	十六进制	十进制	十六进制	十进制	十六进制
Unicode	2208	U+2208	2209	U+2209	2211	U+220B	2212	U+220C
UTF-8	226 136 136	E2 88 88	226 136 137	E2 88 89	226 136 139	E2 88 8B	226 136 140	E2 88 8C
UTF-16	8712	2208	8713	2209	8715	220B	8716	220C
字符值引用	∈	∈	∉	∉	∋	∋	∌	∌
字符值引用	∈		∉		∋
LaTeX	\in		\notin		\ni		\not\ni or \notni
Wolfram Mathematica	\[Element]		\[NotElement]		\[ReverseElement]		\[NotReverseElement]

集合的势

主条目：势 (数学)

参见

• 单位元
• 单元素集合

注释

1. 这里的“X”是希腊数字的10

参考资料

1. Eric Schechter. Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press. 1997. ISBN 0-12-622760-8. p. 12
2. George Boolos. 24.243 Classical Set Theory (lecture) (演讲). 麻省理工学院. February 4, 1992.
3. Kennedy, H. C. What Russell learned from Peano. Notre Dame Journal of Formal Logic (Duke University Press). July 1973, 14 (3): 367–372. MR 0319684. doi:10.1305/ndjfl/1093891001 .

延伸阅读

• Halmos, Paul R., Naive Set Theory, 数学大学生教材 Hardcover, NY: Springer-Verlag, 1974 [1960], ISBN 0-387-90092-6 含有内容需登入查看的页面 (link) - "Naive" means that it is not fully axiomatized, not that it is silly or easy (Halmos's treatment is neither).
• Jech, Thomas, Set Theory, Stanford Encyclopedia of Philosophy, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2002 [2022-06-29], （原始内容存档于2015-03-14）
• Suppes, Patrick, Axiomatic Set Theory, NY: Dover Publications, Inc., 1972 [1960], ISBN 0-486-61630-4 含有内容需登入查看的页面 (link) - Both the notion of set (a collection of members), membership or element-hood, the axiom of extension, the axiom of separation, and the union axiom (Suppes calls it the sum axiom) are needed for a more thorough understanding of "set element".